Iperalgebra: febrero 2013

martes, 26 de febrero de 2013

Iperalgebra

Este blog fue hecho especialmente para aquel que quiera saber del álgebra y se apoye en la información para adquirir conocimientos acerca de una materia tan bella.

Nelli Rosas

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Concepto de álgebra y antecedentes

Polinomios de una variable

Para a₀, …, a_n constantes en algún anillo A (en particular podemos tomar un cuerpo, como $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ , en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con a_n distinto de cero y $n \in \mathbb{N}$ , entonces un polinomio, $P_{}^{}$ , de grado n en la variable x es un objeto de la forma

$P(x)_{}^{} =$ $a_n x^n + a_{n-1} x^{n - 1}+ \cdots + a_1 x^{1} + a_0 x^{0}, \qquad x\notin A$

El polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como

$P(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}.$

Las constantes a₀, …, a_n se llaman los coeficientes del polinomio. A a₀ se le llama el coeficiente constante (o término independiente) y a a_n, el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normalizado.

[editar]Polinomios de varias variables

Los polinomios de varias variables, a diferencia de los de una variable, tienen en total más de una variable. Por ejemplo los monomios:

$5xy, 3xz^2, 4xy^2z, \dots$

En detalle el último de ellos $4xy_{}^2z$ es un monomio de tres variables (ya que en él aparecen las tres letras x, y y z), el coeficiente es 4, y los exponentes son 1, 2 y 1 de x, y y zrespectivamente.

[editar]Grado de un polinomio

Artículo principal: Grado (polinomio).

Se define el grado de un monomio como el mayor exponente de su variable. El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado.

Ejemplos: P(x) = 2, polinomio de grado cero (el polinomio solo consta del término independiente).; P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno.; P(x) = 3x² + 2x², polinomio de grado dos.; P(x) = 2x²+ 3x + 2, polinomio de grado dos.

Convencionalmente se define el grado del polinomio nulo como $\scriptstyle -\infty$ . En particular los números son polinomios de grado cero.

[editar]Operaciones con polinomios

Artículo principal: Operaciones con polinomios.

Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los monomios semejantes. Para multiplicar polinomios se multiplica cada término de un polinomio por cada uno de los términos del otro polinomio y luego se simplifican los monomios semejantes.

Ejemplo

Sean los polinomios: $P(x) = (2x_{}^3+4x+1)$ y $Q(x)_{}^{} = (5x^2+3)$ , entonces el producto es:

$P(x)Q(x)_{}^{} =$ $(2x_{}^3+4x+1)(5x^2+3) =$ $(2x_{}^3+4x+1)(5x^2) + (2x^3+4x+1)(3)=$ $(10x_{}^5 + 20x^3 + 5x^2) + (6x^3+12x+3)=$ $10x_{}^5 + 26x^3 + 5x^2 + 12x + 3$

Para poder realizar eficazmente la operación se tiene que adquirir los datos necesarios de mayor a menor. Una fórmula analítica que expresa el producto de dos polinomios es la siguiente:

$P(X)Q(X)_{}^{} =$ $\left( \sum_{i=0}^m a_i X^i \right) \left(\sum_{j=0}^n b_j X^j \right) =$ $\sum_{k=0}^{m+n} \left(\sum_{p=0}^k a_p b_{k-p} \right) X^k$

Aplicando esta fórmula al ejemplo anterior se tiene:

$P(x)Q(x)_{}^{} =$ $(2x_{}^3+4x+1)(5x^2+3) =$ $(1\cdot 3)x_{}^0 + (4 \cdot 3)x^1 + (1 \cdot 5)x^2 + (4\cdot 5+ 2\cdot 3)x^3 + (0)x^4 + (5\cdot 2)x^5 =$ $10x_{}^5 + 26x^3 + 5x^2 + 12x + 3$

Puede comprobarse que para polinomios no nulos se satisface la siguiente relación entre el grado de los polinomios $\scriptstyle P(X)$ y $\scriptstyle Q(X)$ y el polinomio producto $\scriptstyle P(X)Q(X)$ :

(*) $\mbox{gr}(P(X)Q(X)) = \mbox{gr}(P(X)) + \mbox{gr}(Q(X))\,$

Puesto que el producto de cualquier polinomio por el polinomio nulo es el propio polinomio nulo, se define convencionalmente que $\scriptstyle \mbox{gr}(0) = -\infty$ (junto con la operación $\forall p: -\infty + p = -\infty$ ) por lo que la expresión (*) puede extenderse también al caso de que alguno de los polinomios sea nulos.

[editar]Funciones polinómicas

Artículo principal: Función polinómica.

Una función polinómica es una función matemática expresada mediante un polinomio. Dado un polinomio P[x] se puede definir una función polinómica asociada a él dado substituyendo la variable x por un elemento del anillo:

$f_P:A \to A,\qquad \qquad a\in A \mapsto f_P(a)=a_n a^n + a_{n-1}a^{n-1}+\dots + a_1 a + a_0\in A$

La funciones polinómicas reales son funciones suaves, es decir, son infinitamente diferenciables (tienen derivadas de todos los órdenes). Debido a su estructura simple, las funciones polinómicas son muy sencillas de evaluar numéricamente, y se usan ampliamente en análisis numérico para interpolación polinómica o para integrar numéricamente funciones más complejas. Una manera muy eficiente para evaluar polinomios es la utilización de la regla de Horner.

En álgebra lineal el polinomio característico de una matriz cuadrada codifica muchas propiedades importantes de la matriz. En teoría de los grafos el polinomio cromático de un grafo codifica las distintas maneras de colorear los vértices del grafo usando x colores.

Con el desarrollo de la computadora, los polinomios han sido remplazados por funciones spline en muchas áreas del análisis numérico. Las splines se definen a partir de polinomios y tienen mayor flexibilidad que los polinomios ordinarios cuando definen funciones simples y suaves. Éstas son usadas en la interpolación spline y en gráficos por computadora.

Suma de polinomios

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.

P(x) = 2x³ + 5x − 3 Q(x) = 4x − 3x² + 2x³

1Ordenamos los polinomios, si no lo están.

Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x

P(x) + Q(x) = (2x³ + 5x − 3) + (2x³ − 3x² + 4x)

2Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x) + Q(x) = 2x³ + 2x³ − 3 x² + 5x + 4x − 3

3Sumamos los monomios semejantes.

P(x) + Q(x) = 4x³ − 3x² + 9x − 3

También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.

P(x) = 7x⁴ + 4x² + 7x + 2 Q(x) = 6x³ + 8x +3

P(x) + Q(x) = 7x⁴ + 6x³ + 4x² + 15x + 5

Resta de polinomios

La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x³ + 5x − 3) − (2x³ − 3x² + 4x)

P(x) − Q(x) = 2x³ + 5x − 3 − 2x³ + 3x² − 4x

P(x) − Q(x) = 2x³ − 2x³ + 3x² + 5x − 4x − 3

P(x) − Q(x) = 3x² + x − 3

Resta de polinomios

Restas de polinomios

EJEMPLO 1: (Resta de polinomios de igual grado)

A = - 3x² + 9x⁴ - 8 - 4x³ + 1/2 x
B = 5x⁴ - 10 + 3x + 7x³

    9x⁴ - 4x³ - 3x² + 1/2 x - 8          (el polinomio A ordenado y completo)
-
    5x⁴ + 7x³ + 0x² +   3x - 10          (el polinomio B ordenado y completo)
______________________________

La resta se puede tranformar en suma, cambiando todos los signos del segundo polinomio:

    9x⁴ - 4x³ - 3x² + 1/2 x   - 8
+
   -5x⁴ - 7x³ + 0x²   -   3x  + 10       (el polinomio B con los signos cambiados)
______________________________
    4x⁴ - 11x³ - 3x² - 5/2 x + 2

A - B = 4x⁴ - 11x³ - 3x² - 5/2 x + 2

Para restar polinomios se suelen cambiar los signos de todos los términos del polinomio que se resta ("el de abajo"), y transformar la resta en suma, ya que restar es lo mismo que sumar el "opuesto". Pero también se puede hacer restando los coeficientes del mismo grado.
Y también se los puede restar "en el mismo renglón", tal como mostré que se puede hacer en la suma. En la EXPLICACIÓN de cada ejemplo lo mostraré resuelto de las tres maneras.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1

EJEMPLO 2: (Resta de polinomios de distinto grado)

A = 5x - 4 - 3x²                  (grado 2)
B = 2x + 4x³ - + 1 + 5x²       (grado 3)

    0x³ - 3x² + 5x - 4          (el polinomio A ordenado y completo)
-
   4x³ - 5x² + 2x + 1         (el polinomio B ordenado y completo)
____________________

     0x³ - 3x² + 5x - 4
+
   -4x³ + 5x² - 2x - 1         (el polinomio B con los signos cambiados)
____________________
   -4x³ + 2x² + 3x - 5

A - B = -4x³ + 2x² + 3x - 5

Igual que en la suma: En el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros términos con ceros. Así, se rellenan las columnas que faltan adelante de uno de los polinomios, para que quede encolumnado término a término con el otro polinomio.

Multiplicación de polinomios

Multiplicación de monomios con polinomios

Se le llama multiplicación de monomios con polinomios cuando un solo factor se encuentra multiplicando a un polinomio
Reglas:

Se multiplica el término del monomio por cada término del polinomio, sumando los exponentes de las literales iguales.

Se coloca el signo de acuerdo con las reglas de los signos vistas anteriormente

Se encuentra la suma algebraica de los productos parciales.

Ejemplos:

Multiplicación de polinomios
La multiplicación de polinomios es la más general de las multiplicaciones algebraicas en este caso se multiplican un polinomio con otro polinomio su resultado puede ser un polinomio, un número o cero.
Reglas:

Se multiplica cada término del polinomio por cada término del polinomio, sumando los exponentes de las literales iguales.

Se coloca el signo de cada factor resultante de acuerdo con las reglas de los signos vistas anteriormente

Se encuentra la suma algebraica de los productos parciales.

Ejemplos

Como puede verse en el segundo ejemplo una manera fácil y ordenada de realizar las multiplicaciones es planteandolo como diferentes multiplicaciones de monomios por polinomios y sumando términos semejantes.

División de polinomios

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

La división algebraica es la operación que consiste en hallar uno de los factores de un producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor, llamado divisor, y el producto de ambos factores llamado dividendo.

De la definición anterior se deduce que el dividendo coincide con el producto del divisor por el cociente. Así por ejemplo, si dividimos , se cumplirá que

Si el residuo no fuera igual a cero, entonces:

Para efectuar una división algebraica hay que tener en cuenta los signos, los exponentes y los coeficientes de las cantidades que se dividen.

(+)÷(+)=+

(–)÷(–)=+

(+)÷(–)=–

(–)÷(+)=–

DIVISIÓN DE UN MONOMIO POR OTRO

Para dividir dos monomios se divide el coeficiente del dividiendo entre el coeficiente del divisor y a continuación se escriben las letras ordenadas alfabéticamente, elevando cada letra a un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el exponente que tiene en el divisor. El signo del cociente será el que corresponda al aplicar la regla de los signos.

EJEMPLO:

Dividir

SOLUCIÓN:

EJEMPLO:

Dividir

SOLUCIÓN:

EJEMPLO:

Dividir

SOLUCIÓN:

En ocasiones el cociente de dos monomios es fraccionario y, por consiguiente, la división propiamente dicha no puede efectuarse en los siguientes casos:

a) Cuando una letra está elevada a un exponente menor al que se halla elevada dicha letra en el divisor.

b) Cuando el divisor contiene alguna letra que no se halla en el dividendo.

EJEMPLO:

Dividir

DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO

Para dividir un polinomio por un monomio se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman los cocientes parciales así obtenidos.

EJEMPLO:

Dividir

SOLUCIÓN:

EJEMPLO:

Dividir

SOLUCIÓN:

EJEMPLO:

Dividir

SOLUCIÓN:

DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN POLINOMIO.

Para dividir dos polinomios se procede de la manera siguiente:

1) Se ordena el dividendo y el divisor con respecto a una misma letra.

2) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, obteniéndose así el primer término del cociente

3) Se multiplica el primer término del cociente por todo el divisor y el producto así obtenido se resta del dividendo, para lo cual se le cambia de signo y se escribe cada término de su semejante. En el caso de que algún término de este producto no tenga ningún término semejante en el dividendo, es escribe dicho término en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y del divisor.

4) Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, obteniéndose de este modo el segundo término del cociente.

5) El segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto así obtenido se resta del dividendo, cambiándole todos los signos.

6) Se divide el primer término del segundo resto entre el primer término del divisor y se repiten las operaciones anteriores hasta obtener cero como resto.

EJEMPLO:

Dividir:

Para resolver la operación anterior se procedió del modo siguiente:

En primer lugar se han ordenado dividendo y divisor en orden ascendente con respecto a la letra y y en orden descendente con respecto a la letra x.

A continuación se ha dividido el primer término del dividendo, , entre el primer término del divisor, , obteniéndose , por cada uno de los términos del divisor, obteniéndose como resultado , que se escribe debajo de los términos semejantes del dividendo cambiando los signos de todos los términos semejantes, obteniéndose como primer resto .

Después se ha dividido entre obteniéndose como cociente , que es el segundo término del cociente. Multiplicando por todos los términos del divisor que se obtiene como resultado , que se escribe debajo de los términos semejantes del primer resto cambiando los signos de todos sus términos para efectuar la resta.

A continuación se ha procedido a efectuar la reducción de términos semejantes, obteniéndose como segundo resto

Finalmente se ha dividido entre , obteniéndose como cociente . Multiplicando por todos los términos del divisor se obtiene como producto , que se escribe debajo de los términos semejantes del segundo resto cambiando los signos de todos lo términos para efectuar la resta. A continuación se ha procedido a efectuar la reducción de términos semejantes, obteniéndose como tercer resto 0, con lo cual queda acabada la división.

EJEMPLO: